FUNCIONES

DOMINIO Y RANGO DE   UNA FUNCIÓN

Una función entre dos conjuntos numéricos es una correspondencia tal que a cada número del conjunto de partida le corresponde una sola imagen del conjunto de llegada.

Así, en la figura siguiente podemos observar gráficamente el comportamiento de la función raíz cuadrada de un número.

Del lado izquierdo observamos el conjunto de partida (representado por  los valores que le asignemos a la variable independiente “X”), del lado derecho observamos el conjunto de llegada  (representado  por  los  valores que toma la variable dependiente “Y” una vez que se extrae la     raíz cuadrada del valor que se le asignó a “X”) y sobre la flecha está   indicada la relación matemática (función) que transforma los valores del conjunto de partida en los valores del conjunto de llegada (imagen)

 

Dominio de una función: Es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a “X” ( variable independiente) forman el conjunto de partida. Gráficamente lo miramos en el eje horizontal    ( abscisas),  leyendo como escribimos de izquierda a derecha.

El dominio de una función está formado por aquellos valores de “X” (números reales) para los que se puede calcular la imagen f(x).

Rango de una función: Es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función "Y" (variable dependiente), por eso   se denomina “f(x)”, su valor depende del valor que le demos a "X". Gráficamente lo miramos en el eje vertical  (ordenadas),  leyendo de  abajo a arriba.

El Rango de una función es el conjunto formado por las imagenes   f(x) de los valores de “X” que pertenecen al Dominio de dicha función.

La manera más efectiva para determinar el Rango consiste en graficar la función y ver los valores que toma “Y” de abajo hacia arriba.

Determinar Dominio y Rango de

F(x) = X + 3

Como es una función lineal el dominio será todo el conjunto de los números reales.

 Dom f(x) = R

El Rango será todo el conjunto de los números reales. Seguimos el eje    “Y” de abajo hacia arriba y podemos leer valores siempre.

Rango =  (– ∞,  + ∞)

Determinar Dominio y Rango de

                                           F(x) = X2 – 2X – 3

Como es una función polinómica de segundo grado el dominio será todo el conjunto de los números reales.

                                             Dom f(x) = R

El  eje “Y” empieza a tomar valores (de abajo hacia arriba) a partir de -4.

                                            Rango =  [– 4,  + ∞)

Función Lineal

Una función lineal es una función polinómica de primer grado, en un gráfica se representa como una línea recta y se escribe: f(x) = mx + b.

Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada a la primera potencia, cuando la potencia es 1 normalmente no se escribe.

m = pendiente de la recta (constante).

b = punto de corte de la recta con el eje y (constante).

x = variable.  

Cuando modificamos “m” en una función lineal se modifica la pendiente es decir la inclinación de la recta, si cambiamos “b” la línea se mueve hacia arriba o abajo.

Las funciones se pueden clasificar en tres tipos:

Si el valor de “m” es mayor a cero la función es creciente.

Si el valor de “m” es menor a cero la función es decreciente.

Si “m” es igual a cero la función es constante (su gráfica será una recta paralela al eje X).

Estos son los tres tipos de funciones:

EJEMPLO 1:

Graficar las siguientes funciones lineales:

 a) y = -3x + 4

a) Grafiquemos de las dos maneras

1. Tabla de valores

2. Pendiente y ordenada

Pendiente = -3

Ordenada al origen = 4

Función Cuadrática

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

f(x) = ax ² + bx + c

Donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.

En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

AsI;

ax ² es el término cuadrático

bx es el término lineal

c es el término independiente

 Representación gráfica de una función cuadrática

Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x, f(x)] de una función cuadrática , obtendríamos siempre una curva llamada parábola .

Orientación o concavidad

Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.

Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax ² ) :

Si  a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x ² − 3x − 5

Si  a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x ² + 2x + 3

Dominio y rango

Como con cualquier función, el dominio de función cuadrática f ( x ) es el conjunto de los valores de x para los cuales la función esta definida, y el rango es el conjunto de todos los valores de salida (valores de f ).

Las funciones cuadráticas generalmente tienen la recta real de enteros como su dominio: cualquier x es una entrada legítima. El rango esta restringido a esos puntos mayores que o iguales a la coordenada en y del vértice (o menores que o iguales a, dependiendo si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo).

 

 Ejemplos de funciones cuadráticas;

1) Grafiquemos la función y = x² + 1.

Para poder graficar esta función cuadrática debemos asignar arbitrariamente valores a x para encontrar los que corresponden a y.
Luego de hacer esta tabla podrás graficar en el plano cartesiano.

En la parábola de esta función podemos observar que;

- La curva no toca el eje x, por que las raíces son imaginarias.
Esto lo que podemos comprobar si reemplazamos b² - 4ac = 0² - 4 = - 4. Como la discriminante es negativa la curva no toca el eje x.

- La parábola está hacia arriba ya que a = 1, o sea, a > 0.

- El vértice es (0,1) para esta función como a > 0 es el punto mínimo de la parábola, y el eje de simetría corresponde al eje de las ordenadas.

- El eje y se corta en el mismo punto del vértice, ya que c = 1.