CONJUNTOS

CONJUNTOS

En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos del conjunto. 

Definición de Conjuntos

Hay dos formas de definir un conjunto, por Extensión y por Comprensión.

Por Extencion: Es aquella forma mediante la cual se indica cada uno de los elementos del conjunto.

Ejemplo: 

A) El conjunto de los números pares mayores que 5 y menores que 20. 

A = { 6;8;10;12;14;16;18 } 

 

Por Comprension: Es aquella forma mediante la cual se da una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto.

 Ejemplo:

El conjunto de los meses del año seria:

M= {x/x meses del año}

EJEMPLOS  DE DEFINICION DE CONJUNTO POR COMPRENSION Y EXTENSION 

Por comprensión	Por extensión
A = {Números dígitos}	A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B = {Números pares]	B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...}
C = {Múltiplos de 5}	C = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35...}

Tipos de Conjuntos

Conjunto Vacío: El símbolo Ø representa el conjunto vacío, que es el conjunto que no tiene elementos en absoluto.

Por ejemplo:  

M= {números mayores que 9 y menores que 5}

P= {Ø}

Conjunto Unitario: El conjunto unitario se distingue por tener solo un elemento.

Conjunto Finito: Un conjunto es finito si podemos contar la cantidad de elementos que lo conforman.

Por ejemplo; el conjunto de las letras del idioma castellano es finito porque en total son 27 letras.

Conjunto Infinito: Cuando los elementos o miembros no se pueden enumerar o contar, se considera como conjunto infinito. El método más fácil para representar este tipo de conjuntos es por comprensión.  Basta con mencionar las características que tienen en común los elementos del conjunto y los estaremos determinando a todos. 

Los ejemplos más sencillos y comunes de conjuntos infinitos los encontramos en los números.  ¿Cuántos números pares hay? ¿cuántos múltiplos tiene el tres?

Conjunto Referencial o Universo: Usaremos siempre la letra $U$ para representar el conjunto universal y se caracterizan por estar conformados por los miembros de todos los elementos que forman parte de la caracterización. 

Por ejemplo: 

El conjunto A esta compuesto de {1,3, 5, 7} y el B por {2, 4, 6}. Mientras que el conjunto universal es {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Conjuntos iguales:  Esto se da cuando dos o más conjuntos contienen iguales elementos. 

Por ejemplo el conjunto A es {2, 4, 6, 8} y el B es {8, 6, 4, 2}. Ambos conjuntos son iguales por que poseen los mismos elementos, sin importar su orden.

Aqui un video de los Tipos de Conjuntos

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

UNION DE CONJUNTOS:

La Unión de dos o más conjuntos es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos. La unión de A y B se denota

 

Ejemplo: 

La unión de los conjuntos A={1,2,3} y B={2,4,6} 
sería el conjunto C={1,2,3,4,6}, 
esto es: {1,2,3}∪{2,4,6}={1,2,3,4,6}

INTERSECCION DE CONJUNTOS:

El símbolo de esta operación es: ∩.

Sean A y B dos conjuntos, la intersección de ambos (A ∩ B) es el conjunto C el cual contiene los elementos que están en A y que están en B.

Un elemento x pertenece a la intersección de los conjuntos A y B si, y sólo si, x pertenece al conjunto A y x pertenece al conjunto B, por lo tanto:

Así, por ejemplo, si A = { a, b, c, d, e} y B = { a, e, i, o}, entonces la intersección de dichos conjuntos estará formada por todos los elementos que estén a la vez en los dos conjuntos, esto es: A∩B= {a,e}

 

DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS:  Dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entre A y B, estará formado por todos los elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: ─

EJEMPLO:

Así, por ejemplo, si A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e, i, o }, entonces la diferencia de dichos conjuntos estará formada por todos los elementos que estén solamente en A, esto es:  

A –  B = { b, c, d }

DIFERENCIA SIMETRICA ENTRE CONJUNTOS: 

Dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formado por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el siguiente: △.

Ejemplo 1.

Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

COMPLEMENTACION DE CONJUNTOS:

Dado el conjunto A ϵ U, se define el conjunto complementario de A, que se escribe A^c, el cual está formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal (U), pero que no pertenecen a A.

El conjunto complemento de A lo podemos representar en un diagrama de Venn de la siguiente forma;

Ejemplo:

Sea U = { a, e, i, o, u } y A = { i, u }

 ¿cuál es el complemento de A?

Entonces, si quitamos las letras i y u, obtenemos Ac.

                           

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS