GEOMETRIA

Sistema cartesiano tridimensional

Un sistema cartesiano tridimensional está compuesto por tres planos perpendiculares entre sí, los cuales se interceptan en los ejes coordenados, los que se denominan ejes Ox, Oy y Oz.

Las coordenadas del punto E de la figura son (x,y,z).

La distancia signada x se llama abscisa, y se llama ordenada y z se llama cota.

Los planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes. 

Los signos de las coordenadas se ilustran en la siguiente figura: 

Ejemplo:

El cubo de la figura tiene una arista de 8 unidades y se ubica en el sistema cartesiano tal como se ilustra en la siguiente figura. ¿Cuáles son las coordenadas del punto P?

 En la figura, se cumple que x = 0; y = 8 y z = 8, por lo tanto, sus coordenadas son (0,8,8).

Planos tridimensionales

Las ecuaciones con tres incógnitas no son posibles de  graficar en un plano cartesiano con coordenadas (x, y):

Ya que, dónde pondríamos las coordenadas z, recordando que un sistema tres por tres maneja tres incógnitas: x, y, z. Para casos como este se trabaja con un plano tridimensional.

En geometría y análisis matemático, un objeto o ente es tridimensional si tiene tres dimensiones. Es decir cada uno de sus puntos puede ser localizado especificando tres números dentro de un cierto rango. Por ejemplo, anchura, longitud y profundidad.

Observa el siguiente plano extraído de la página Disfrutalasmatemáticas.com, donde se grafica en un plano tridimensional un punto.

Poliedros

Definición de poliedro

Un poliedro es la región del espacio limitada por polígonos.

El significado de "poli" es mucho y el de "edro" es cara; por lo tanto, poliedro significa "muchas caras".

Todas sus caras son planas ya que todas son polígonos.

Elementos de un poliedro

Caras

Las caras de un poliedro son cada uno de los polígonos que limitan al poliedro.

Aristas

Las aristas de un poliedro son los lados de las caras del poliedro. Dos caras tienen una arista en común.

Vértices

Los vértices de un poliedro son los vértices de cada una de las caras del poliedro. Tres caras coinciden en un mismo vértice.

Ángulos diedros

Los ángulos diedros están formados por cada dos caras y tienen una arista en común.

Ángulos poliédricos

Los ángulos poliédricos están formados por tres o más caras del poliedro y tienen un vértice común.

Diagonales

Las diagonales de un poliedro son los segmentos que unen dos vértices no pertenecientes a la misma cara.

Tipos De Poliedro

Existen varios tipos de poliedro. Los poliedros se pueden clasificar mediante dos criterios:

Según su regularidad: 

•  Regulares: un poliedro regular es aquel que sus caras son poliedros regulares y son todos iguales. Todos los ángulos poliedros también son iguales. 

• Irregulares: Poliedro cuyas caras son polígonos no todos iguales.

Según si son poliedros convexos o cóncavos:

• Poliedro convexo: En un poliedro convexo una recta sólo pueda cortar a su superficie en dos puntos.

•    Poliedro cóncavo: En un poliedro cóncavo una recta puede cortar su superficie en más de dos puntos, por lo que posee algún ángulo diedro entrante.

Tipos De Poliedros Regulares

Un poliedro regular es aquel que sus caras son polígonos regulares y son todas iguales. Las aristas también son todas iguales. Existen sólo cinco tipos:

• Tetraedro regular: cuya superficie está formada por cuatro triángulos equiláteros iguales

• Cubo (o hexaedro regular): figura compuesto por seis cuadrados iguales

• Octaedro regular: figura la superficie del cual está constituida por ocho triángulos equiláteros iguales

• Dodecaedro regular: figura formado por doce pentágonos regulares iguales

• Icosaedro regular: figura las caras del cual son veinte triángulos equiláteros iguales

Tipos De Poliedro Irregular

Los poliedros irregulares son poliedros cuyas caras son polígonos no todos iguales. Principalmente se clasifican por el número de caras que tiene su superficie:

·         Tetraedro: poliedro irregular con cuatro caras

·         Pentaedro: poliedro irregular con cinco caras

·         Hexaedro: poliedro irregular con seis caras

·         Heptaedro: poliedro irregular con siete caras

·         Octaedro: poliedro irregular con ocho caras

·         Eneaedro: poliedro irregular con nueve caras

·         Decaedro: poliedro irregular con diez caras

 Dos de las clases fundamentales de los poliedros irregulares son las pirámides y los prismas.

Area de Poliedros --- Ejercicios

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Sólidos De Revolución 

Las superficies de revolución son figuras que se forman al girar 360° una línea o una curva contenida en un plano, llamada generatriz, alrededor de una recta directriz, o eje de rotación, contenida también en el mismo plano.

Ejemplos básicos de superficies de revolución son las superficies cilíndricas, cónicas, esféricas y toroidales.

Sólidos de revolución (o cuerpos de revolución)

Esfera

La esfera es el conjunto de puntos del espacio tridimensional que equidistan de un punto definido como el centro de la esfera. O lo que es lo mismo, es la figura geométrica descrita por un semicírculo al girar sobre su diámetro.

Un círculo es la superficie que existe dentro de una circunferencia.

Cilindro

El cilindro circular es la figura tridimensional que se forma cuando una recta, llamada generatriz, gira alrededor de otra recta que queda fija, llamada eje.

Cono

El cono recto es la superficie de revolución generada por hacer girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Llamamos base al círculo inferior del cono y g a las generatrices que se unen en el vértice del mismo.

Tronco Del Cono

El tronco del cono recto(o cono truncado recto) es una superficie de revolución generada al girar un trapecio rectángulo sobre el lado perpendicular a sus bases. También puede entenderse como el corte del cono en paralelo a la base y eliminar la parte que tiene el vértice del cono.

Toro

El toro es una superficie de revolución generada por el giro de un círculo cuyo centro recorre otro círculo de dimensiones mayores, estando ambos contenidos en dos planos ortogonales.

Aquí un vídeo sobre el Volumen de un sólido de revolución usando discos-- ejercicio

Poliedros y Cuerpos Redondos

Cuerpos Redondos

Son la esfera, el cono y el cilindro. Los cuerpos redondos son aquellos que tienen, al menos, una de sus caras o superficies de forma curva. También se denominan cuerpos de revolución porque pueden obtenerse a partir de una figura que gira alrededor de un eje.

 

Cono

El cono es un cuerpo geométrico generado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos.

Elementos de un cono:


Eje: es el cateto AC. Alrededor de él gira el triángulo rectángulo.

Base: es el círculo que genera la rotación del otro cateto, AB. Por lo tanto AB es el radio del cono. La base se simboliza: O (A, AB).

Generatriz: es la hipotenusa del triángulo rectángulo, BC, que genera la región lateral conocida como manto del cono.

Altura: corresponde al eje del cono, porque une el centro del círculo con la cúspide siendo perpendicular a la base.

Tipos

Los conos pueden ser:

Conos rectos (o conos de revolución): La superficie curva es una superficie cónica de revolución.

Cono oblicuo de base elíptica: La altura no coincide sobre el eje. El eje no es perpendicular a la base. Si su cara lateral es una superficie cónica de revolución, su sección recta es un círculo. 

Cono oblicuo de base circular: La altura tampoco coincide con el eje. La sección recta al eje es una elipse.

Cilindro

El cilindro es el cuerpo geométrico generado por un rectángulo al girar en torno a uno de sus lados.

 

Elementos de un cilindro:

Eje: Es El lado fijo alrededor del cual gira el rectángulo.

Generatriz: Es el lado opuesto al eje, y es el lado que engendra el cilindro.

Bases: Son los círculos que engendran los lados perpendiculares al eje.

Altura: Es la distancia entre las dos bases, esta distancia es igual a la generatriz.

Esfera

La esfera es el sólido generado al girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro.

Elementos de una esfera:

Centro: Punto interior que equidista de cualquier punto de la esfera.

Radio: Distancia del centro a un punto de la esfera.

Cuerda: Segmento que une dos puntos de la superficie.

Diámetro: Cuerda que pasa por el centro.

Polos: Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica.