ECUACIONES E INECUACIONES

ECUACIONES 

Una ecuación es una igualdad en la cual hay términos conocidos y términos desconocidos. El término desconocido se llama incógnita y se representa generalmente por las últimas letras del abecedario: “x”, “y” o “z”, aunque puede utilizarse cualquiera otra letra. 

 EJEMPLO: 

20 – 7x = 6x – 6

-6x – 7x = -20 -6

– 13 x = -26

x = -26 / -13

Elementos de una ecuación 

En las ecuaciones distinguimos varios elementos:

·        Incógnita: La letra (o variable) que figura en la ecuación.

·       

          Miembro: Es cada una de las dos expresiones algebraicas separadas por el signo =.

·         

     Término: Cada uno de los sumandos que componen los miembros de la ecuación.

·     

     Grado: Es el mayor de los exponentes de las incógnitas, una vez realizadas todas las operaciones (reducir términos semejantes)

Ecuaciones de primer grado

Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).  

Una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se puede expresar en la forma ax+b=0.

Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos:

1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.

2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.

3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.

4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.

Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita

Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:

Resolver la ecuación 2x – 3 = 53

Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).

Entonces hacemos:

2x – 3 + 3 = 53 + 3

En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos:

2x = 53 + 3

2x = 56

Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x , entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:

2x • ½   =  56 • ½

Simplificamos y tendremos ahora:

x = 56 / 2

x = 28

Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.

Ecuaciones de Segundo Grado

Una ecuación de segundo grado es una ecuación polinómica cuyo grado es 2, es decir, aquella en la que el grado mayor de los monomios es 2 (es decir, su parte literal es x²

Toda ecuación de segunda grado se puede escribir o reducir a una ecuación equivalente cuya forma sea:

Soluciones y Discriminante

 Las soluciones (o raíces) de la ecuación de segundo grado (en la forma anterior) vienen dadas por la fórmula cuadrática:

 Llamamos discriminante, Δ, de la ecuación al radicando de la fórmula anterior, es decir,

Factorización

Factorizar una ecuación consiste en expresarla como un producto de polinomios más simples, esto es, como un producto de polinomios de grado menor.

 Ejemplo:

X2+2x+1= (x+1) (x+1)

 Ecuación 1

 

El discriminante de la ecuación es

Δ=b2−4ac=

=22−4⋅1⋅1=

=4−4=0

Por tanto, la ecuación tiene una solución real doble.

Aplicamos la fórmula:

 

Luego la solución doble es x = -1. Una factorización de la ecuación es

(x+1)2=0

 

 INECUACIONES

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos: 

 

<             menor que         2x − 1 < 7

≤             menor o igual que          2x − 1 ≤ 7

>             mayor que         2x − 1 > 7

≥             mayor o igual que           2x − 1 ≥ 7

 Ejemplo

2x − 1 < 7

2x < 8     

x < 4
 

(-∞, 4)

inecuaciones de primer grado

  inecuaciones de segundo grado

-6x – 7x = -20 -6
– 13 x = -26
x = -26 / -13
-6x – 7x = -20 -6 – 13 x = -26 x = -26 / -13

20 – 7x = 6x – 6